如图1.已知抛物线y=-18x2+bx+c经过点A.点C与点B关于抛物线对称轴对称．(1)求抛物线的函数关系式.并求点C的坐标,(2)点P是线段OA上一动点.以OP为直角边作等腰直角三角形OPQ.使△OPQ与△OAB在x轴的同侧.且∠OPQ=90°.OP=PQ．①当点Q恰好在线段AB上时.求OP的长,②将①中的△OPQ沿x轴向右平移.记平移后的△OPQ为△O′P′Q′.当点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图1，已知抛物线y=-

1

8

x²+bx+c经过点A（6，0），B（0，3），点C与点B关于抛物线对称轴对称．
（1）求抛物线的函数关系式，并求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上一动点，以OP为直角边作等腰直角三角形OPQ，使△OPQ与△OAB在x轴的同侧，且∠OPQ=90°，OP=PQ．
①当点Q恰好在线段AB上时，求OP的长；
②将①中的△OPQ沿x轴向右平移，记平移后的△OPQ为△O′P′Q′，当点P′与点A重合时停止平移．设平移的距离为t，P′Q′与AB交于点M，连接O′C、O′M、CM．是否存在这样的t，使△O′CM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
③在②的平移过程中，设△O′P′Q′与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先根据已知点的坐标代入到抛物线的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可确定对称轴，然后利用点B的坐标表示出点C的坐标即可；
（2）①设OP=x，则OP=PQ=x，根据OA=6，OB=3，得到AP=OAB-OP=6-x，然后PQ∥OB得到△APQ∽△AOB，利用相似三角形对应边的比相等列出算式计算x的值即可求得线段OP的长；
②过点C作CG⊥OA于G，根据△MP′A∽△BOA表示出MP′=2-

1

2

t，然后在Rt△O′P′M中，（O′M）²=（MP′）²+（O′P′）²=（2-

1

2

t）²+2²=

1

4

t²-2t+8，在Rt△O′CG′中，（O′C）²=CG²+（O′G）²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，在Rt△CHM中，CM²=CH²+HM²=(

1

2

t+1)2+t2=

5

4

t²+t+1，分若∠CO′M=90°，则CM²=O′M²-O′C²、若∠OC′M=90°，则O′M²-CM²=O′C²、若∠BDM=90°，则O′M²-=O′C²-CM²，求得t值即可；
③分当0≤t≤

4

3

时和当

4

3

＜t≤4时两种情况分类讨论即可确定解析式．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

8

x²+bx+c经过点A（6，0），B（0，3），
∴

-

36

8

+6b+c=0

c=3

，
∴

b=

1

4

c=3

，
∴抛物线的函数关系式y=-

1

8

x2+

1

4

x+3，
∴对称轴为x=1，
∴点C的坐标为（2，3）；

（2）①如图，点Q在线段AB上

设OP=x，则OP=PQ=x，
∵OA=6，OB=3，
∴AP=OAB-OP=6-x，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△AOB，
∴

PQ

OB

=

AP

OA

，
即

x

3

=

6-x

6

，
解得：x=2，
即OP=2；

②存在满足条件的t，
理由：如图，过点C作CG⊥OA于G，

则OG=BC=2，CG=OB=3，
由题意得：OO′=t，GO′=|t-2|，AP′=4-t，
∵P′M∥OB，
∴△MP′A∽△BOA，
∴

MP′

OB

=

AP′

OA

，即

MP′

3

=

4-t

6

，
∴MP′=2-

1

2

t，
在Rt△O′P′M中，（O′M）²=（MP′）²+（O′P′）²=（2-

1

2

t）²+2²=

1

4

t²-2t+8，
在Rt△O′CG′中，（O′C）²=CG²+（O′G）²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
过点M作MH⊥CG于H，
则HM=GP′=t，GH=MP′=2-

1

2

t，
∴CH=CG-HG=3-（2-

1

2

t）=

1

2

t+1，
在Rt△CHM中，CM²=CH²+HM²=(

1

2

t+1)2+t2=

5

4

t²+t+1，
（Ⅰ）若∠CO′M=90°，则CM²=O′M²-O′C²，
即：

5

4

t²+t+1=

1

4

t²-2t+8-（t²-4t+13），
解得：t=

20

7

；
（Ⅱ）若∠OC′M=90°，则O′M²-CM²=O′C²，
即：

1

4

t²-2t+8-（

5

4

t²+t+1）=t²-4t+13，
解得：t=-3+

17

或t=-3-

17

；
（Ⅲ）若∠BDM=90°，则O′M²-=O′C²-CM²
即：

1

4

t²-2t+8²=（t²-4t+13）-（

5

4

t²+t+1），
此方程无解；
综上所述，当t=

20

7

或-3+

17

时，△O′CM是直角三角形；
③当0≤t≤

4

3

时，S=

1

12

t2，
当

4

3

＜t≤4时，S=-

13

168

t2+

3

7

t-

2

7

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和勾股定理．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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