Question

8．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，点D是AB的中点，点F是边AC上一点，点E是BC边上一点，∠BDE=α，∠CFE=β
（1）请用含α，β的代数式表示∠DEF，并证明你的结论；
（2）若DE恰好垂直AB，如图②，且AF=EF，试用含β的代数式表示∠BEF，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，以点B为坐标原点BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图③所示．若β=60°，点E的坐标为（2，0），求直线AC的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）用邻补角求出∠ADE，∠AFE，再用四边形的内角和即可；
（2）先判断出DE∥AC，再利用中垂线的性质得出∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β，即可；
（3）先求出∠ABC，∠ACB，再判断出△ABE是等边三角形，进而求出EC，EF，从而得出点C，F的坐标，即可求出直线AC解析式．

解答 解：（1）∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=180°-α，
同理：∠AFE=180°-β，
根据四边形的内角和为360°，得，∠BAC+∠ADE+∠DEF+∠AFE=360°，
∴90°+180°-α+∠DEF+180°-β=360°，
∴∠DEF=α+β-90°；
（2）如图②，连接AE，

∵DE恰好垂直AB，
∴∠BDE=90°，
∴DE∥AC，
∴∠EAF=∠AED，∠DEF=∠CFE=β，
∵AF=EF，
∴∠EAF=∠AEF，
∴∠AEF=∠AED=$\frac{1}{2}$∠DEF=$\frac{1}{2}$β，
∵点D是AB中点，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=∠AED=$\frac{1}{2}$β，
∴∠BEF=∠BED+∠AED+∠AEF=$\frac{3}{2}$β；
（3）如图③，

∵β=60°，
由（2）知，∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β=30°，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠EAC，
∴EC=AE，
∴AE=BE=CE，
∵点E的坐标为（2，0），
∴BE=2，
∴AE=CE=2，
∴BC=BE+CE=4，
∴C（4，0），
在△CEF中，∠ACB=30°，∠EFC=60°，
∴∠FEC=90°，
在Rt△CEF中，CE=2，∠ECF=30°，
∴EF=CEtan∠ECF=2×tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴F（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设直线AC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法，四边形的内角和，邻补角，等边三角形的判定和性质，中垂线的性质，解本题的关键是判断出∠CEF=90°．