题目内容

我们知道，二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M（x，y）到定点A（0，
p
2
）的距离与它到定直线y=-
p
2
的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线x2=2py（p＞0）．
（1）已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（2）若（1）中求得的抛物线与一次函数y=
3
16
x+
1
4
相交于B、C两点，求△OBC的面积．
（3）若点D的坐标是（1，8），在（1）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）易求得P=8，即可解题；
（2）根据抛物线与直线交于B，C两点即可求得点B，C坐标，即可求得S△OBC的值，即可解题；
（3）根据抛物线定义可得点P与点D横坐标相同时，PA+PD有最小值．
解答：解：（1）动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，
则P=8，
∴抛物线解析式为x2=16y；
（2）抛物线与一次函数y=
3
16
x+
1
4
交于点B，C，
则满足x2=16（
3
16
x+
1
4
），
解得：x=-1或4，
∴点B横坐标分别为-1，纵坐标为
1
16
，点C横坐标分别为4，纵坐标为1，
∴点B（-1，
1
16
），点C（4，1），
设直线y=
3
16
x+
1
4
交y轴于E（0，
1
4
），
∴S△OBC=
1
2
OE•（1+4）=
5
8
；
（3）存在，
理由：画简略示意图如图所示，

 设点P到直线y=-4的距离为d，
由抛物线的定义可知：PA=d，
则PA+PD=d+PD，
∴过点D作直线y=-4的垂线段，与抛物线的交点即为P点
将x=1代入x2=16y中，求得点P（1，
1
16
），
∴抛物线上存在点P（1，
1
16
），使得PA+PD最短．
点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线的定义，考查了抛物线与直线交点问题的求解，考查学生数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
（2）将△ABC关于x轴对称得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
用48m长的篱笆材料围成一个圆形场地，求圆的直径是多少米？面积为多大？
解方程组：
x+y
3
-
3
x-y
=2
x+y
5
+
2
x-y
=5
．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+3的图象与x轴交于M和N两点，且与y轴交于D，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求点M、N的坐标及抛物线的对称轴．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x交于点B．抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q为线段OB上一点，点P为抛物线上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长；
（3）若点Q为线段OB或线段BC上一点，点P为抛物线上一点，PQ⊥x轴．设P、Q两点之间的距离为d，点Q的横坐标为m，求m为何值时，d取得最大值，最大值是多少．并直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．
解方程：
（1）8x=-2（x+4）；
（2）
3y-1
4
-1=
5y-7
6
．
计算：
1
2x
-
1
x+y
×（
x+y
2x
-xy）．
如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，∠C=55°，∠ABC=70°，求∠BED与∠BEC的度数（要有说理过程）．

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