题目内容
我们知道，二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M（x，y）到定点A（0，
）的距离与它到定直线y=-
的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线x2=2py（p＞0）．
（1）已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（2）若（1）中求得的抛物线与一次函数y=
x+
相交于B、C两点，求△OBC的面积．
（3）若点D的坐标是（1，8），在（1）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
（1）已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（2）若（1）中求得的抛物线与一次函数y=
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| 1 |
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（3）若点D的坐标是（1，8），在（1）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）易求得P=8，即可解题；
（2）根据抛物线与直线交于B，C两点即可求得点B，C坐标，即可求得S△OBC的值，即可解题；
（3）根据抛物线定义可得点P与点D横坐标相同时，PA+PD有最小值．
（2）根据抛物线与直线交于B，C两点即可求得点B，C坐标，即可求得S△OBC的值，即可解题；
（3）根据抛物线定义可得点P与点D横坐标相同时，PA+PD有最小值．
解答：解：（1）动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，
则P=8，
∴抛物线解析式为x2=16y；
（2）抛物线与一次函数y=
x+
交于点B，C，
则满足x2=16（
x+
），
解得：x=-1或4，
∴点B横坐标分别为-1，纵坐标为
，点C横坐标分别为4，纵坐标为1，
∴点B（-1，
），点C（4，1），
设直线y=
x+
交y轴于E（0，
），
∴S△OBC=
OE•（1+4）=
；
（3）存在，
理由：画简略示意图如图所示，
设点P到直线y=-4的距离为d，
由抛物线的定义可知：PA=d，
则PA+PD=d+PD，
∴过点D作直线y=-4的垂线段，与抛物线的交点即为P点
将x=1代入x2=16y中，求得点P（1，
），
∴抛物线上存在点P（1，
），使得PA+PD最短．
则P=8，
∴抛物线解析式为x2=16y；
（2）抛物线与一次函数y=
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则满足x2=16（
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| 1 |
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解得：x=-1或4，
∴点B横坐标分别为-1，纵坐标为
| 1 |
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∴点B（-1，
| 1 |
| 16 |
设直线y=
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| 4 |
∴S△OBC=
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（3）存在，
理由：画简略示意图如图所示，
设点P到直线y=-4的距离为d，
由抛物线的定义可知：PA=d，
则PA+PD=d+PD，
∴过点D作直线y=-4的垂线段，与抛物线的交点即为P点
将x=1代入x2=16y中，求得点P（1，
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∴抛物线上存在点P（1，
| 1 |
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点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线的定义，考查了抛物线与直线交点问题的求解，考查学生数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
每课必练系列答案
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