Question

已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．

（1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，

∵D与A关于E对称，

∴E为AD中点，

∵BC⊥AD，

∴BC为AD的中垂线，

∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，

∴∠ACE=∠ABE，

∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），

∴AB=CD．

（2）∠F=∠MCD，理由如下：

∵∠BAC=2∠MPC，

又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠MPC=∠CDA，

∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB，AE⊥BC，

∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），

∴AM为BC的中垂线，

∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）

∵EM⊥BC，

∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合﹣）．

∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，

∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）