Question

17．如图，在△ABC中，∠A=60°、∠B=45°、AB=4，点M、N、P分别在AC、AB、BC上运动，求△PMN周长的最小值．

Answer 1

分析 如图，作点M关于直线AB、直线BC的对称点K、H，连接HK交AB于N，交BC于P．根据△PMN的周长=PM+MN+PN=PH+PN+HK=HK，所以HK最小时△PMN的周长最小，根据对称性，BM=BK=BH，∠MBA=∠ABK，∠MBC=∠CBH，推出∠KBH=2（∠MBA+∠MBC）=90°，推出KH=$\sqrt{2}$BM，所以BM最短时，△PMN的周长最短=$\sqrt{2}$BM，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作点M关于直线AB、直线BC的对称点K、H，连接HK交AB于N，交BC于P．

∵△PMN的周长=PM+MN+PN=PH+PN+HK=HK，
∴HK最小时△PMN的周长最小，
根据对称性，BM=BK=BH，∠MBA=∠ABK，∠MBC=∠CBH，
∴∠KBH=2（∠MBA+∠MBC）=90°，
∴KH=$\sqrt{2}$BM，
∴BM最短时，△PMN的周长最短=$\sqrt{2}$BM，
作BM⊥AC，
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=4，∠A=60°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=2，BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△PMN的周长的最小值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用对称的性质，解决最短问题，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．