题目内容
如图，过圆周上一点P作直径AB的垂线PM，M为垂足，过P及A作圆的切线交于Q，BQ交PM于N，求证：PN=MN．考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：过点B作⊙O的切线交QP的延长线于K，如图，由于AQ，QK，BK是⊙O的切线，根据切线长定理和切线的性质得QP=QA，KP=KB，QA⊥AB，BK⊥AB，而PM⊥AB，根据平行线的判定得QA∥PM∥BK，于是利用平行线分线段乘比例定理得到
=
，再证明△QPN∽△QKB得到
=
，利用比例性质和等线段代换得
=
，然后证明△BMN∽△BAQ得到
=
，所以
=
，则有PN=MN．
| BM |
| AB |
| PK |
| QK |
| PN |
| BK |
| QP |
| QK |
| PN |
| QP |
| PK |
| QK |
| MN |
| QA |
| BM |
| AB |
| PN |
| QP |
| MN |
| QA |
解答：证明：过点B作⊙O的切线交QP的延长线于K，如图，
∵AQ，QK，BK是⊙O的切线，
∴QP=QA，KP=KB，QA⊥AB，BK⊥AB，
∵PM⊥AB，
∴QA∥PM∥BK
，
∴
=
∵PN∥BK，
∴△QPN∽△QKB，
∴
=
，
∴
=
=
，
∵MN∥AQ，
∴△BMN∽△BAQ，
∴
=
，
∴
=
，
∴PN=MN．
∵AQ，QK，BK是⊙O的切线，
∴QP=QA，KP=KB，QA⊥AB，BK⊥AB，
∵PM⊥AB，
∴QA∥PM∥BK
，∴
| BM |
| AB |
| PK |
| QK |
∵PN∥BK，
∴△QPN∽△QKB，
∴
| PN |
| BK |
| QP |
| QK |
∴
| PN |
| QP |
| BK |
| QK |
| PK |
| QK |
∵MN∥AQ，
∴△BMN∽△BAQ，
∴
| MN |
| QA |
| BM |
| AB |
∴
| PN |
| QP |
| MN |
| QA |
∴PN=MN．
点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质．
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，-10，-0.8中，分数有（ ）
| 2 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| A、2个 | B、3个 | C、4个 | D、5个 |