Question

已知：OA、OB为⊙O的半径，OA⊥OB，点C、D分别为OB、OA的中点，线段AC、BD相交于E．
（1）求证：AC=BD．
（2）若⊙O的半径为6，求线段DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理,圆的认识

专题：

分析：（1）求出OC=OD，根据SAS证出△AOC≌△BOD即可．
（2）连接DC，AB，先根据勾股定理求出DB的长，再根据根据三角形中位线求出△DCE∽△BAE，得出比例式，求出DE即可得出答案．

解答：（1）证明：）∵OA=OB，点C、D分别为OB、OA的中点，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠O=∠O OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD．
（2）连接DC，AB，
∵OA⊥OB，OB=6，OD=3，
∴DB=

OD2+OB2

=3

5

，
∵点C、D分别为OB、OA的中点，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△BAE，
∴DC：AB=DE；BE=1：2，
∴DE=

1

3

DB=

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．