Question

10．已知a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若3c=a+3b，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析 （1）将原方程变现为一般式，由方程有两个相等的实数根，即可得出△=（2b）²-4（c-a）（c+a）=0，整理后可得b²+a²=c²，由此可得出△ABC为直角三角形；
（2）联立3c=a+3b及b²+a²=c²，即可得出a=$\frac{3}{4}$b、c=$\frac{5}{4}$b，将其代入sinA+sinB=$\frac{a+b}{c}$中即可求出结论．

解答 解：（1）原方程可变形为（c-a）x²+2bx+（c+a）=0．
∵关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实根，
∴△=（2b）²-4（c-a）（c+a）=0，
∴b²+a²=c²．
∴△ABC为直角三角形．
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\\{3c=a+3b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}b}\\{c=\frac{5}{4}b}\end{array}\right.$．
∵△ABC为直角三角形，
∴sinA=$\frac{a}{c}$，sinB=$\frac{b}{c}$，
∴sinA+sinB=$\frac{a+b}{c}$=$\frac{\frac{3}{4}b+b}{\frac{5}{4}b}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了根的判别式、勾股定理的逆定理以及正弦的定义，解题的关键是：（1）由方程有两个相等的实数根找出b²+a²=c²；（2）联立3c=a+3b及b²+a²=c²，求出a=$\frac{3}{4}$b、c=$\frac{5}{4}$b．