Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAB的平分线交BC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交BC于点P，BF=

3

，连接BD．
（1）求证：∠2=∠3；
（2）求PD的长；
（3）若tan∠BFD=

3

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）由DA平分∠CAB得到∠1=∠2，由圆周角定理得到∠1=∠3，利用等量代换即可得到∠2=∠3；
（2）根据等腰三角形的判定，通过证明∠BDE=∠3得到PD=PB，证明∠FDP=∠DFP得到PD=PF，则PF=PB=PD，所以PD=

1

2

BF=

3

2

；
（3）在Rt△BDF中，根据正切的定义得到tan∠BFD=

BD

DF

=

3

2

，再证明Rt△ABD∽Rt△BFD，利用相似比即可计算出AB，从而得到⊙O的半径．

解答：（1）证明：∵DA平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADE+∠BDE=90°，
而ED⊥AE，
∴∠2+∠ADE=90°，
∴∠2=∠BDE，
∴∠BDE=∠3，
∴PD=PB，
∵∠DFB+∠3=90，∠ADE+∠BDE=90°，
而∠BDE=∠3，
∴∠FDP=∠DFP，
∴PD=PF，
∴PF=PB=PD，
∴PD=

1

2

BF=

3

2

；
（3）解：在Rt△BDF中，tan∠BFD=

BD

DF

=

3

2

，
∵∠2=∠3，
∴Rt△ABD∽Rt△BFD，
∴

AB

BF

=

BD

DF

，即

AB

3

=

3

2

，
∴AB=

3 3

2

，
∴⊙O的半径为

3 3

4

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了三角形相似的判定与性质．