Question

10．如图，等边△ABC的边长为1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在其内部作正方形EFMN和正方形FIHG，点M在AC边上，点H在BC边上，点E、F、I在AB边上．

（1）如图（1），当点N和G重合时，求EI的长；
（2）在两个正方形变化过程中，EI的长是否发生改变？若不变，请求出EI的长；若改变，请说明理由；
（3）求这两个正方形面积和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到CF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，设两个正方形的边长为x，则MH=EI=2x，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设正方形MEFN的边长为x，正方形FIHG的边长为y，则AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，列方程得到x+y=1，于是得到结论；
（3）根据不等式的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵点N和G重合，
∴EI=MH=2GF，CF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
设两个正方形的边长为x，则MH=EI=2x，
∵MH∥AB，
∴△CMH∽△CAB，
∴$\frac{MH}{AB}$=$\frac{CG}{CF}$，即$\frac{2x}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}-x}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴EI=1；
（2）EI的长不发生改变，
理由：设正方形MEFN的边长为x，正方形FIHG的边长为y，
则AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x+y+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x+y=1，
∴EI=1，
即在两个正方形变化过程中，EI的长不发生改变；
（3）由（2）得x+y=1，则x²+y²≥$\frac{（x+y）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴这两个正方形面积和的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．