Question

如图，△ABC的外角，∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线交于点P，若∠BPC=50°，则∠PAC=

 

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Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，再根据角平分线的定义可得∠PCD=

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∠ACD，∠PBC=

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∠ABC，然后整理求出∠BAC=2∠BPC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点P在∠BAC的外角平分线上，然后求解即可．

解答：解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵CP是∠ACD的平分线，BP是∠ABC的平分线，
∴∠PCD=

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∠ACD，∠PBC=

1

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∠ABC，
∴∠BPC+∠PBC=

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2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠BAC=2∠BPC，
∵∠BPC=50°，
∴∠BAC=2×50°=100°，
∵点P是BP、CP的交点，
∴点P在∠BAC的外角平分线上，
∴∠PAC=

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（180°-100°）=40°．
故答案为：40°．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于判断出点P在∠BAC的外角平分线上．