Question

11．如图，OP=1，过P作PP₁⊥OP，得OP₁=$\sqrt{2}$；再过P₁作P₁P₂⊥OP₁且P₁P₂=1，得OP₂=$\sqrt{3}$；又过P₂作P₂P₃⊥OP₂且P₂P₃=1，得OP₃=2；…依此法继续作下去，若△OP_nP_n+1的面积大于6时，n至少是144．

Answer 1

分析 首先根据勾股定理求出OP₄，再由OP₁，OP₂，OP₃的长度找到规律进而求出OP_n的长，列出不等式即可解决问题．

解答 解：由勾股定理得：
OP₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
得OP₂=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$；
得OP₃=2；
OP₄=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
依此类推可得OP_n=$\sqrt{n+1}$，
∴△OP_nP_n+1的面积=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{n+1}$，
由题意$\frac{1}{2}$$\sqrt{n+1}$＞6，
∴n＞143，
∴n的最小值为144，
故答案为144．

点评 本题考查了勾股定理的运用、三角形的面积等知识，解题的关键是由已知数据找到规律求出OP_n，学会构建不等式解决问题，属于中考常考题型．