Question

14．已知△ABC中，F，G分别为AB，BC上一点，AG，CF交于点O，记△ABG的面积为S₁，△BFC的面积为S₂，且S₁=S₂．
（1）如图1．若∠B=90°，AB=Bc，$\frac{AF}{BF}=\frac{2}{3}$，求$\frac{OF}{OC}$的值；
（2）如图2，若∠B=90°，AF=6，CG=8，OA=3OG，求AC的长；
（3）如图3，若∠OAC=45°，∠OCA=30°，求证：OF=$\sqrt{2}$OG．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到S_△ACF=S_△ACG，过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，得到FM=GN，证得FG∥AC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BF}{BA}$=$\frac{FG}{AC}$=$\frac{3}{5}$，根据FG∥AC，得到△FOG∽△AOC，于是得到结论；
（2）如图2根据三角形的面积得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，设AB=3k，BC=4k，根据勾股定理得到AC=5k，过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，根据相似三角形的性质得到FG=$\frac{5}{3}$k，根据勾股定理即可得到结论；
（3）过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，根据平行线的性质得到∠FGA=45°，∠GFO=30°，过O作OH⊥FG于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴$\frac{FG}{AC}=\frac{BF}{AF}$，
∵$\frac{AF}{BF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{FG}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∵FG∥AC，
∴△FOG∽△AOC，
∴$\frac{FO}{OC}$=$\frac{FG}{AC}$=$\frac{3}{5}$；

（2）如图2，∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
∴$\frac{1}{2}$AF•BC=$\frac{1}{2}$CG•AB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
设AB=3k，BC=4k，
∴AC=5k，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴$\frac{FG}{AC}=\frac{OG}{AO}$=$\frac{1}{3}$，
∴FG=$\frac{5}{3}$k，
∵BF²+BG²=FG²，
∵BF=3k-6，BG=4k-8，
∴（3k-6）²+（4k-8）²=（$\frac{5}{3}$k）²，
∴k=3，k=6（不合题意），
∴AC=15；

（3）如图3，∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∵∠OAC=45°，∠OCA=30°，
∴∠FGA=45°，∠GFO=30°，
过O作OH⊥FG于H，
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OG，
∵∠GFO=30°，
∴OF=2OH=$\sqrt{2}$OG．

点评 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．