Question

已知：AD=2，BD=4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长； 
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）作AH⊥BD于H，在Rt△ADH中，由∠ADB=60°得∠DAH=30°，则DH=

1

2

AD=1，AH=

3

AH=

3

，所以BH=BD-DH=4-1=3，在Rt△AHB中，根据勾股定理得AB=2

3

，所以∠ABH=30°，然后根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，BC=BA=2

3

，则∠DBC=90°，再在Rt△DBC中，利用勾股定理计算CD；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，根据旋转的性质得AE=AD，BE=DC，∠EAD=60°，所以△ADE为等边三角形，则DE=DA=2，∠ADE=60°，由于当E点在直线BD上时，BE最大，所以BE的最大值为2+4=6，则CD的最大值为6，此时∠ADB=120°．

解答：解：（1）作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB=60°，
∴∠DAH=30°，
∴DH=

1

2

AD=1，
∴DH=

3

AH=

3

，
∴BH=BD-DH=4-

3

，
在Rt△AHB中，AB=

AH2+BH2

=2

3

，
∴∠ABH=30°，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA=2

3

，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，CD=

BD2+BC2

=2

7

；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，
则AE=AD，BE=DC，∠EAD=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=DA=2，∠ADE=60°，
当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4=6，
∴CD的最大值为6，此时∠ADB=120°．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等边三角形的性质．