Question

8．如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，AB=1，BC=2，CD=3，求AC．

Answer 1

分析 连CE，如图，先利用旋转的性质得∠CBE=60°，AC=DE，BC=BE，则可判定△BCE为等边三角形，所以CE=BC=2，∠BCE=60°，于是得到∠DCE=90°，然后利用勾股定理计算出DE，从而得到AC的长．

解答 解：连CE，如图，
∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，
∴∠CBE=60°，AC=DE，BC=BE，
∴△BCE为等边三角形，
∴CE=BC=2，∠BCE=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是利用等边三角形的性质证明△DCE为直角三角形．