Question

函数y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：绝对值函数的最值

专题：

分析：分别求出当x≥1和当x≤

1

10

时，y的最小值，然后求出当

1

n+1

≤x≤

1

n

（n=1…9）时，y=（-n²-n+55）x+2n-10，分析得出x=

1

7

时，y有最小值，求出最小值即可．

解答：解：当x≥1时，y=55x-10，
当x=时，y有最小值45；
当x≤

1

10

时，y=10-55x，
当x取

1

10

时，y有最小值4.5；
当

1

n+1

≤x≤

1

n

（n=1…9）时：
y=（1-x）+…+（1-nx）+[（n+1）x-1]+…+（10x-1）
=2n-10+[1+2+…+n-（n+1）-…-10]x
=2n-10+[55-n（n+1）]x
=（-n²-n+55）x+2n-10，
当n≤6时，
-n²-n+55≥55-42=13＞0，
∵

1

n+1

≤x≤

1

n

，
∴x＞

1

7

时，y随x增加而变大；
当n≥7时，
-n²-n+55≤55-56=-1＜0，
∵

1

n+1

≤x≤

1

n

，
∴x＜

1

7

时，y随x增加而变小，
∴当x=

1

7

时，y有最小值为：

27

7

．
故答案为：

27

7

．

点评：本题主要考查绝对值函数的最值问题，考查学生的逻辑思维能力和归纳能力，关键是注意分情况讨论，求出当x＞

1

7

时，y随x增加而变大，x＜

1

7

时，y随x增加而变小，最终求出最大值，难度较大．