Question

10．如图，⊙O过?ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB=2，AD=$\sqrt{17}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得∠B=∠ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得∠ADC+∠AHC=180°，再根据邻补角互补可知∠AHC+∠AHB=180°，从而可以得到∠ABH和∠AHB的关系，从而可以证明结论成立；
（2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明∠OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到∠AEC的度数，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通过转化可以得到∠OCP的度数，从而可以证明结论；
（3）根据题意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=$\sqrt{17}$，可以求得半径的长．

解答 （1）证明：∵四边形ADCH是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AHC=180°，
又∵∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠ADC=∠AHB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）证明：连接OC，如右图所示，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴BA⊥AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA经过圆心O，
∴$\widehat{DF}=\widehat{CF}$，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠DAF，
又∵∠PCD=2∠DAF，
∴∠COF=∠PCD，
∵∠COF+∠OCE=90°，
∴∠PCD+∠OCE=90°，
即∠OCP=90°，
∴直线PC是⊙O的切线；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=2，
∵FA⊥CD，
∴DE=CE=1，
∵∠AED=90°，AD=$\sqrt{17}$，DE=1，
∴AE=$\sqrt{（\sqrt{17}）^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{17-1}=\sqrt{16}=4$，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE-OA=4-r，
∵∠OED=90°，DE=1，
∴r²=（4-r）²+1²
解得，r=$\frac{17}{8}$，
即⊙O的半径是$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查圆的综合题、平行四边形的性质、勾股定理、同弧所对的圆心角和圆周角的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．