题目内容

在四边形ACBD中，DE⊥AB于点E，DE=12，S_△ABD=60，AC=6，BC=8，求∠C的度数．

解：∵DE⊥AB于点E，
∴ $\text{[math]}$ ，

∴AB=10，
又AC²+BC²=6²+8²=100，AB²=10²=100，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
即∠C=90°．
分析：根据三角形ABD的面积= $\text{[math]}$ AB•DE，可求AB，而AC²+BC²=6²+8²=100，AB²=10²=100，可得AC²+BC²=AB²，从而可证△ABC是直角三角形，那么∠C=90°．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是求出AB．

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如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为120°，已知⊙M的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积．

在四边形ACBD中，DE⊥AB于点E，DE=12，S_△ABD=60，AC=6，BC=8，求∠C的度数．

阅读材料：如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O．
求证：S_{四边形ABCD}=

ACBD；
证明：∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

解答下列问题：
（1）上述证明得到的结论可叙述为　                              　；
（2）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，且AC=8，则S_梯形ABCD=　                　；
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则S_菱形ABCD=　                  ．

【考点】切线的性质；圆周角定理．

【专题】计算题．

【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APOB中，根据四边形的内角和求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数．

【解答】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），

连接BD，AD，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠OAP＝∠OBP=90°，又∠P＝40°，

∴∠AOB＝360°－(∠OAP＋∠OBP＋∠P)＝140°，

∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对弧AB，

∴∠ADB＝∠AOB＝70°，

又∵四边形ACBD为圆内接四边形，

∴∠ADB＋∠ACB＝180°，

则∠ACB＝110°．

故选B。

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．