Question

16．已知关于x的一元二次方程x²+kx-1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两根分别为x₁，x₂，且满足$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式可得△=k²+4，由于k²≥0，进而可判断△＞0，从而可判断此方程有两个不相等的实数根；
（2）先根据根与系数的关系计算x₁+x₂，x₁•x₂的值，而$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2，可把x₁+x₂，x₁•x₂的值代入，进而可求出k．

解答 （1）证明：△=b²-4ac=k²-4×（-1）=k²+4，
∵k²≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意可得，
x₁+x₂=-k，x₁x₂=-1，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2，
∴k+$\frac{1}{k}$=2，
解得k=1，
经检验，k=1是原方程的解．
故k的值为1．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．