题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5| 3 |
（1）AC的长是
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2
| 3 |
考点：平行四边形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,菱形的判定
专题：动点型
分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．
（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．
（4）BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5
-
t，从而得到S△BEF=
×BF×BE=2
，然后求得t的值．
（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．
（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．
（4）BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5
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| 1 |
| 2 |
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解答：（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2-AB2=BC2，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．
（3）解：能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5
×
=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=
．
即当t=
时，四边形AEFD为菱形．
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=
CD，
∴CF=
t，
又∵BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5
-
t，
∴S△BEF=
×BE×BF=2
，
即：
(5-t)(5
-
t)=2
，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为2
．
故答案为：5，10；平行且相等；
；3．
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2-AB2=BC2，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．
（3）解：能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5
| 3 |
| ||
| 3 |
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=
| 10 |
| 3 |
即当t=
| 10 |
| 3 |
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=
| 1 |
| 2 |
∴CF=
| 3 |
又∵BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5
| 3 |
| 3 |
∴S△BEF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
即：
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为2
| 3 |
故答案为：5，10；平行且相等；
| 10 |
| 3 |
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
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