Question

已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为△ABC外一点，连接AD、BD，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E，已知AD=BD=2．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；
（2）若tan∠HDB=

3

4

，求DE的长．

Answer 1

考点：解直角三角形,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据已知得出AD=DB=AB=2，求出AH=BH=1，在Rt△DHA中，由勾股定理求出DH，求出EH是△ABC的中位线，求出EH，即可求出答案；
（2）根据tan∠HDB=

3

4

=

BH

DH

设BH=3x，DH=4x，则由勾股定理得：BD=5x，求出x=

2

5

，求出DH和EH长，即可得出答案．

解答：解：（1）∵△ABD是等边三角形，
∴AD=DB=AB=2，
∵DH⊥AB，
∴AH=BH=1，
在Rt△DHA中，由勾股定理得：DH=

AD2-AH2

=

22-12

=

3

，
∵DH⊥AB，∠ABC=90°，
∴DH∥BC，
∵AH=BH，
∴AE=CE，
∴EH=

1

2

BC=

1

2

AB=1，
∴DE=DH-EH=

3

-1；

（2）tan∠HDB=

3

4

=

BH

DH

，
设BH=3x，DH=4x，则由勾股定理得：BD=5x，
即5x=2，
解得：x=

2

5

，
即DH=4x=

8

5

，AH=BH=3x=

6

5

，
所以AB=BC=

6

5

+

6

5

=

12

5

，
∴EH=

1

2

BC=

6

5

，
∴DE=

8

5

-

6

5

=

2

5

．

点评：本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的中位线，等边三角形性质，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出DH和EH的长．