Question

20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=12，BC=6．
（1）求cos∠BAC的值；
（2）如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；
（3）求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍？（精确到0.1）

Answer 1

分析 （1）由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可求出cos∠BAC的值；
（2）由OD垂直于AC，利用垂径定理得到D为AC的中点，根据AC的长即可求出AD的长；
（3）大阴影部分面积等于扇形AOC面积减去三角形AOC面积，小阴影部分面积等于扇形BOC面积减去三角形BOC面积，即可求出较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的倍数．

解答 解：（1）∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=12，BC=6，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
则cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵OD⊥AC，
∴D为AC的中点，即AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△AOD中，AD=3$\sqrt{3}$，AO=6，
根据勾股定理得：OD=$\sqrt{{6}^{2}-（3\sqrt{3}）^{2}}$=3；
（3）连接OC，如图所示，
∵在Rt△ABC中，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
S_阴影大=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{120π×{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=12π-9$\sqrt{3}$；S_阴影小=S_扇形BOC-S_△BOC=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=6π-9$\sqrt{3}$，
∵（12π-9$\sqrt{3}$）÷（6π-9$\sqrt{3}$）≈6.8，
∴图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的6.8倍．

点评 此题考查了扇形面积的计算，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．