Question

如图四边形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂均为正方形．点A₁，A₂，A₃和点C₁，C₂，C₃分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），则k+b=（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．3.5

Answer 1

分析：首先设C₁的坐标为（a，0），由四边形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂均为正方形，点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），可求得A₃的坐标是（

5

2

，

9

4

），易证得△A₂A₁B₁∽△A₃A₂B₂，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得a的值，又由点A₁，A₂，A₃在直线y=kx+b（k＞0）上，利用待定系数法即可求得k与b的值，继而求得答案．

解答：解：设C₁的坐标为（a，0），
∵四边形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂均为正方形，点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），
∴A₃的坐标是：（

19

4

-

9

4

，

9

4

），即（

5

2

，

9

4

），
∴A₁B₁=a，A₂B₂=

5

2

-a，A₂B₁=

5

2

-a-a=

5

2

-2a，A₃B₂=

9

4

-（

5

2

-a）=a-

1

4

，
∵A₃在直线y=kx+b（k＞0）上，
∴

5

2

k+b=

9

4

①，
∵A₂C₁∥A₃C₂，
∴∠A₂A₁B₁=∠A₃A₂B₂，
∵∠A₂B₁A₁=∠A₃B₂A₂=90°，
∴△A₂A₁B₁∽△A₃A₂B₂，
∴

A1B1

A2B2

=

A2B1

A3B2

，
∴

a

5 2 -a

=

5 2 -2a

a- 1 4

，
整理得：4a²-29a+25=0，
解得：a=

25

4

（舍去），a=1，
∴点A₁（0，1），
∴b=1②，
把②代入①得：k=0.5，
∴k+b=1.5．
故选B．

点评：此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．