Question

6．四边形ABCD中，AB=$\sqrt{6}$，BC=5-$\sqrt{3}$，CD=6，∠ABC=135°，∠BCD=120°，求AD的长．

Answer 1

分析 作AE⊥BC，DE⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG，因为△ADG为直角三角形，所以AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$，根据直角△AEB和直角△CDF即可求AE，BE，CF，FD．

解答 解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AG⊥DF于G，如图所示：
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG
∠ABE=180°-135°=45°，∠DCF=180°-120°=60°，
∴AE=EB=$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$×CD=3，FD=$\sqrt{3}$CF=3 $\sqrt{3}$，
∴AG=EF=8，DG=DF-AE=2 $\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2 $\sqrt{19}$．

点评 本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．