Question

18．如图，直线l：y=-0.5x+2与x轴、y轴相交于点A，B．OC是∠ABO的角平分线．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）求线段OC的长．
（3）点P在直线CO上，过点P作直线m（不与直线l重合），与x轴，y轴分别交于点M，N，若△OMN与△ABO全等，求出点P坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线l：y=-0.5x+2，令x=0，得y=2，令y=0得到x=4，即可求得A、B两点坐标．
（2）如图作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．由OC平分∠AOB，推出CE=CF，时CE=CF=x，由CE∥OB，推出$\frac{EC}{OB}$=$\frac{AE}{AO}$，可得$\frac{x}{2}$=$\frac{4-x}{4}$，解得x=$\frac{4}{3}$，在Rt△OCE中，根据OC=$\sqrt{2}$CE计算即可．
（3）①当过点P₁的直线交x轴于M₁（4，0），交y轴于N₁（0，-2），此时点P₁满足条件．②作△AOB关于直线OC的对称△OM₂N₂，直线M₂N₂与直线OC交于点P₂，点P₂满足条件．③根据对称性可得P₃、P₄也满足条件．

解答 解：（1）对于直线l：y=-0.5x+2，令x=0，得y=2，令y=0得到x=4，
∴A（4，0），B（0，2）．

（2）如图作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．

∵OC平分∠AOB，
∴CE=CF，时CE=CF=x，
∵CE∥OB，
∴$\frac{EC}{OB}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{4}{3}$，
在Rt△OCE中，∵∠COE=45°，
∴CE=OE=$\frac{4}{3}$，OC=$\sqrt{2}$CE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

（3）

①当过点P₁的直线交x轴于M₁（4，0），交y轴于N₁（0，-2），
∴直线M₁N₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴P₁（-4，-4）．
②作△AOB关于直线OC的对称△OM₂N₂，直线M₂N₂与直线OC交于点P₂，
∵直线M₂N₂的解析式为y=-2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴P₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
③根据对称性可知，P₁、P₂关于原点的对称点P₄（4，4），P₃（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-4，-4）或（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（4，4）．

点评 本题考查一次函数综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．