Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-2mx-m²+$\frac{3}{2}$m=0．
（1）请你判断该方程根的情况．
（2）设该方程的两根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）=0．求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出△=8m²-6m．分m＜0或m＞$\frac{3}{4}$、m=0或$\frac{3}{4}$、0＜m＜$\frac{3}{4}$三种情况考虑△的符号，由此即可得出结论；
（2）有（1）的结论可得出m≤0或m≥$\frac{3}{4}$，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=2m、x₁•x₂=-m²+$\frac{3}{2}$m，结合x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）=0即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，此题得解．

解答 解：（1）在方程x²-2mx-m²+$\frac{3}{2}$m=0，△=（-2m）²-4（-m²+$\frac{3}{2}$m）=8m²-6m．
当m＜0或m＞$\frac{3}{4}$时，△=8m²-6m＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当m=0或$\frac{3}{4}$时，△=8m²-6m=0，
∴方程有两个相等的实数根；
当0＜m＜$\frac{3}{4}$时，△=8m²-6m＜0，
∴方程没有实数根．
（2）∵方程的两根为x₁、x₂，
∴m≤0或m≥$\frac{3}{4}$，
∵x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-m²+$\frac{3}{2}$m，
∴x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）=（2m）²-2×（-m²+$\frac{3}{2}$m）-2×2m=6m²-7m=0，
解得：m=0或m=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当根的判别式△=0时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．