Question

6．如图，已知直线l：y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，平移直线l交y=$\frac{k}{x}$于C、D两点，且CD=2AB，若AC=5，求D点坐标及k的值．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，过C作CE∥x轴，过点D作DE∥y轴交CE于点E，过点C作CM⊥x轴于点M，则△AOB∽△CED，根据相似三角形的性质即可得出DE、CE的长度，设点D的坐标为（a，b），则点C的坐标为（a+2，b-4），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出b=2a+4①，再在Rt△ACM中，利用勾股定理可得出a²+b²+2a-8b=8②，将①代入②中可解出a的值，进而可得出b的值，将a、b的值代入k=ab中即可求出k值，此题得解．

解答 解：当x=0时，y=-2x+2=2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y=-2x+2=0时，x=1，
∴点A的坐标为（1，0）．
∴OA=1，OB=2．
过C作CE∥x轴，过点D作DE∥y轴交CE于点E，过点C作CM⊥x轴于点M，则△AOB∽△CED，如图所示．
∴$\frac{DE}{BO}=\frac{CE}{AO}=\frac{CD}{AB}$=2，
∴DE=4，CE=2．
设点D的坐标为（a，b），则点C的坐标为（a+2，b-4），
∴k=ab=（a+2）（b-4），即b=2a+4①．
在Rt△ACM中，AM=a+2-1=a+1，CM=b-4，
∴AC²=AM²+CM²=（a+1）²+（b-4）²=5²，
∴a²+b²+2a-8b=8②．
把①代入②中，得：a²+（2a+4）²+2a-8（2a+4）=8，
整理，得：5a²+2a-24=0，
解得：a=2或a=-$\frac{12}{5}$（舍去），
∴b=2a+4=8，k=ab=2×8=16．
∴点D的坐标为（2，8），k的值为16．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、勾股定理、相似三角形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，设出点D的坐标，利用相似三角形的性质找出点C的坐标是解题的关键．