Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D．

（1）   求证：CD是⊙O的切线；

（2）   若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结OC．

∵ OC=OA，

∴ ∠OAC= ∠OCA．

∵ AC平分∠PAE，

∴ ∠DAC= ∠OAC，

∴ ∠DAC= ∠OCA，

∴ AD∥OC．

∵ CD⊥PA，

∴ ∠ADC= ∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，点C在⊙O上，

∴ CD是⊙O的切线．                 

（2）解：过O作OE⊥AB于E．

∴ ∠OEA=90．°

∵ AB=8，

∴ AE=4．                         

在Rt△AEO中，∠AEO=90°，

∴ AO²=4²+OE²．

∵ ∠EDC= ∠OEA=∠DCO =90°，

∴ 四边形DEOC是矩形，

∴ OC=DE，OE=CD．

∵ AD:DC=1:3，

∴ 设AD=x，则DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4，

∴ (x+4)²=4²+(3x)²，

解得 x₁=0(不合题意，舍去)，x₂=1．

则 OA=5．

∴ ⊙O的半径是5．