Question

3．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象有公共点A（-2，n），直线l⊥x轴于点N（-5，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C，一次函数y=kx+1与x轴、y轴分别交于点D、E，且tan∠ADN=1．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数得出D的坐标，再利用待定系数法解出解析式进行解答即可；
（2）过点A作AF⊥BC于F，得出BC的长度，再利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）由y=kx+1与y轴的交点E（0，1），tan∠EDO=tan∠ADN=1，
则在RT△EDO中，tan∠EDO=$\frac{OE}{OD}$=1，即OD=1，
点D的坐标为（-1，0），
将D（-1，0）代入一次函数解析式y=kx+1，得：k=1，
所以一次函数的解析式为y=x+1，
将A（-2，n）代入一次函数解析式y=x+1，得：n=-1，
把A（-2，-1）代入$y=\frac{m}{x}$，得：m=2，
所以反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$；
（2）过点A作AF⊥BC于F，

l⊥x轴于点N（-5，0）与一次函数解析式为y=x+1交于B（-5，-4），与反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$交于C（-5，-$\frac{2}{5}$），A（-2，-1），
所以BC=$\frac{18}{5}$，AF=3，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{18}{5}×3=\frac{27}{5}$．

点评 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用交点坐标代入解析式进行解答．