Question

14．如图，△ABC在平面坐标系内，点A（0，3$\sqrt{3}$），C（2，0）．点B为y轴上动点，求$\frac{1}{2}$AB+BC的最小值．

Answer 1

分析 如图，取D（-3，0），连接AD，作BE⊥AD，CE′⊥AD于E′交y轴于B′．首先证明∠DAO=30°，推出EB=$\frac{1}{2}$AB，推出$\frac{1}{2}$AB+BC=EB+CB，推出当E与E′重合，B与B′重合时，EB+BC最短，最小值即为CE′的长．

解答 解：如图，取D（-3，0），连接AD，作BE⊥AD，CE′⊥AD于E′交y轴于B′．

∵A（0，3$\sqrt{3}$），C（2，0），
∴OD=3，OA=3$\sqrt{3}$，OC=2，CD=5，
∴tan∠DAO=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAO=30°，
∴EB=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{1}{2}$AB+BC=EB+CB，
∴当E与E′重合，B与B′重合时，EB+BC最短，最小值即为CE′的长，
在Rt△CDE′中，CE′=CD•sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB+BC的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查垂线段最短、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的首先思考问题，属于中考常考题型．