Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB边上任意一点，以点C为旋转中心，取旋转角等于90°，把△BDC逆时针旋转．
（1）画出旋转后的图形；
（2）判断AD²、BD²、CD²的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于CA=CB，∠ACB=90°，则点B的对应点为A点，作EC⊥CD且EC=DC得到点E，则△ACE满足条件；
（2）先判断△ACB为等腰直角三角形得到∠B=∠CAB=45°，再根据旋转的性质得CE=CD，AE=BD，∠DCE=90°，∠CAE=∠B=45°，则∠EAD=90°，然后利用勾股定理得到DE²=CE²+CD²=2CD²，AD²+AE²=DE²，于是得到AD²+BD²=2CD²．

解答 解：（1）如图，△CAE为所作；


（2）AD²+BD²=2CD²．理由如下：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵△BDC绕点C逆时针旋转90°得到△AEC，
∴CE=CD，AE=BD，∠DCE=90°，∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAB=45°+45°=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CE²+CD²=2CD²，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BD²=2CD²．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．