Question

5．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．
（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出∠O=60°，证出△OCD是等边三角形，得出CD=OC=4即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质即可得出AB=AC．

解答 （1）解：连接OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠O=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=4，
即正六边形的边长为4；

（2）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵AB=13，AD=12，
∴BD²+AD²=5²+12²=169=13²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AB=AC．

点评 此题考查了正多边形与圆的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．