Question

16．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；
（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为5$\sqrt{3}$-5＜r＜5$\sqrt{3}$+5．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的判定证明∠ABF=90°即可；
（2）连接DO，EO，根据题意证明△AOD是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式：$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$求出扇形DOE的面积；
（3）求出圆心距OC=5$\sqrt{3}$，根据题意解答即可．

解答 （1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF，
又∵AC=CF，
∴CB=$\frac{1}{2}$AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
又∵∠ABF=90°，AD=5，
∴AB=10，
∴BF=10$\sqrt{3}$；
扇形DOE的面积=$\frac{60π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{6}$π；
（3）解：连接OC，则圆心距OC=5$\sqrt{3}$，
由题意得，5$\sqrt{3}$-5＜r＜5$\sqrt{3}$+5，
故答案为：5$\sqrt{3}$-5＜r＜5$\sqrt{3}$+5．

点评 本题考查的是圆的切线的判定和扇形面积的计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、扇形面积公式：$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$是解题的关键．