Question

如图，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究．

(1)善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r＝10 cm，母线SA长为40 cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；

(2)一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°(如图)，请问：蚂蚁如何行走最合算？

(3)通过(1)、(2)的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，

①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？

②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

Answer 1

答案：
解析：

(1)圆心角α＝90°，蚂蚁所走的最短路程为20 cm；……………………4分 　　(2)圆心角α＝180°，蚂蚁由A沿母线AS到达顶点S，绕点S旋转一周后按原路返回到母线的中点M．…………………………………………8分 　　(3)①分类不周全；………………………………………………9分 　　②分三种情形： 　　(Ⅰ)当扇形的圆心角0°＜α＜180°时(如图)，A是最短路径；………………10分 　　(Ⅱ)当圆锥的锥角等于60°时，圆锥的侧面展开图是一个半圆面(α＝180°)(如图)，对于这种情形，最短路径还可以认为是图中线段A＝AS＋S．……………………………11分 　　(Ⅲ)但是，当圆锥的锥角大于60°时，圆锥的侧面展开图是一个大于半圆面的扇形(如图)，此时，蚂蚁的最短路径应该是折线AS＋S，也可以认为是AS＋SM，我们可以这样理解，这种路径就是蚂蚁由A沿母线AS到达顶点S，绕点S旋转一周后按原路返回到母线的中点M．…………………12分