Question

9．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是y轴正半轴上一动点，将点A绕点P顺时针旋转90°得到点E，求证：抛物线的顶点D在直线CE上．

Answer 1

分析 根据已知条件得到A（-3，0），B（1，0），C（0，3），求得OA=3，求得D（-1，4），求出直线CD的解析式为：y=-x+3，设P（0，m），得到OP=m，过E作EF⊥y轴于F，根据全等三角形的性质得到E（-m，m+3），把x=-m代入y=-x+3得y=m+3，于是得到结论．

解答 证明：在y=-x²-2x+3中，令y=0，则0=-x²-2x+3，
解得：x₁=-3，x₂=1，
令x=0，则y=3，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴OA=3，
∵抛物线的顶点是D，
∴D（-1，4），
∴直线CD的解析式为：y=-x+3，
设P（0，m），
∴OP=m，
过E作EF⊥y轴于F，
∵∠AOP=∠APE=∠EFP=90°，
∴∠EPF+∠APO=∠APO+∠PAO=90°，
∴∠EPF=∠PAO，
∵将点A绕点P顺时针旋转90°得到点E，
∴PA=PE，
在△APO与△PEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠PFE}\\{∠EPF=∠PAO}\\{PA=PE}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△PEF，
∴EF=OP=m，PF=AO=3，
∴E（-m，m+3），
把x=-m代入y=-x+3得，y=m+3，
∴点E在直线CD上，
∴抛物线的顶点D在直线CE上．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确的作出辅助线是解题的关键．