Question

如图，一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y2=

k2

x

的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求当y₁＞y₂时，x的取值范围；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）先把B点坐标代入入y₁=k₁x+2可确定一次函数解析式为y₁=

1

2

x+2；再把B（-8，-2）代入y2=

k2

x

可确定反比例函数解析式为y₂=

16

x

；
（2）观察函数图象得到当-8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（3）先确定点A的坐标是（4，4），点C的坐标是（0，2），再计算出S_梯形ODAC=12，由S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1得S_△ODE=

1

3

×12=4，则

1

2

OD•DE=4，所以DE=2，于是点E的坐标为（4，2），然后确定直线OP的解析式为y=

1

2

x，最后解方程组

y= 1 2 x y= 16 x

可确定P点坐标．

解答：解：（1）把B（-8，-2）代入y₁=k₁x+2得-8k₁+2=-2，解得k₁=

1

2

，所以一次函数解析式为y₁=

1

2

x+2；
把B（-8，-2）代入y2=

k2

x

得k₂=-8×（-2）=16，所以反比例函数解析式为y₂=

16

x

；
（2）-8＜x＜0或x＞4；
（3）把A（4，m）代入y₂=

16

x

得4m=16，解得m=4，则点A的坐标是（4，4），
而点C的坐标是（0，2），
∴CO=2，AD=OD=4．
∴S_梯形ODAC=

1

2

（2+4）×4=12，
∵S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=

1

3

×12=4，
∴

1

2

OD•DE=4，
∴DE=2，
∴点E的坐标为（4，2）．
设直线OP的解析式为y=kx，把E（4，2）代入得4k=2，解得k=

1

2

，
∴直线OP的解析式为y=

1

2

x，
解方程组

y= 1 2 x y= 16 x

得

x=4 2 y=2 2

或

x=-4 2 y=-2 2

，
∴P的坐标为（4

2

，2

2

）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式和观察函数图象的能力．