Question

4．如图，抛物线y=x²-4x-5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出A、B的坐标，根据y轴上点的坐标特征求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，表示出D点的坐标和E点的坐标，根据二次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）由题意令y=0，即x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0）
∴C点坐标为（0，-5），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$
解得k=1，b=-5，
∴直线BC的解析式为：y=x-5；
（2）设点D的横坐标为m，则D点的坐标为（m，m²-4m-5），则E点的坐标为（m，m-5），
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
∴DE的长度：m-5-（m²-4m-5）=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）+$\frac{25}{4}$，
∵a=-1＜0，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，线段DE的长度最大，
此时D点的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{4}$）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．