Question

14．如图，∠α和∠β的度数满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{2∠α+∠β=235°}\\{∠β-∠α=70°}\end{array}\right.$，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α与∠β的度数；
（2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（3）求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）利用加减消元法，通过解二元二次方程组可求出∠α与∠β的度数；
（2）利用求得的∠α与∠β的度数可得到∠α+∠β=180°，于是根据平行线的判定可判断AB∥EF，然后利用平行的传递性可得到AB∥CD；
（3）先根据垂直的定义得到∠CAE=90°，再根据平行线的性质计算∠C的度数．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{2∠α+∠β=235°①}\\{∠β-∠α=70°②}\end{array}\right.$，
①-②得：2∠α=165°，解得∠α=55°，
把∠α=55°代入②得∠β-55°=70°，解得∠β=125°；
（2）AB∥CD．
理由如下：∵∠α=55°，∠β=125°，
∴∠α+∠β=180°，
∴AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）∵AC⊥AE．
∴∠CAE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∴∠C=180°-90°-55°=35°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．