Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AE是∠BAC的平分线，CD⊥AB于D，交AE于点F．请探索AF与BC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 先求出∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=45°，那么∠ACD=∠DAC=45°，根据等角对等边得出AD=CD．再证明∠DAF=∠DCB=22.5°，从而根据ASA证明△ADF≌△CDB，得出AF=BC．

解答 解：AF=BC．理由如下：
∵∠BAC=45°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=180°-45°-90°=45°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，∠ACB=∠B=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=67.5°-45°=22.5°．
在△ADF与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠DCB=22.5°}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠CDB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明出AD=CD以及∠DAF=∠DCB是解题的关键．