Question

4．若实数x、y满足关系式xy-x-y=2，则x²+y²的最小值为（　　）

• A． 3-2$\sqrt{3}$
• B． 0
• C． 8-4$\sqrt{3}$
• D． 8+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由xy-x-y=2，可得xy=2+x+y，设x+y=t，xy=t+2，可得m²-tm+（t+2）=0，由△≥0可得t的范围，x²+y²=（t-1）²-5，根据二次函数的性质可求x²+y²的最小值．

解答 解：设x+y=t，xy=t+2，
由m²-tm+（t+2）=0知△=t²-4（t+2）≥0，
t≥2+2$\sqrt{3}$，t≤2-2$\sqrt{3}$，
x²+y²=（x+y）²-2xy=（t-1）²-5，
当t=2-2$\sqrt{3}$时x²+y²有最小值8-4$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了根的判别式，根与系数的关系，涉及换元法和一元二次方程根的存在，是中档题型．