Question

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$．点D在边AB上，不与点A，B重合，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE、BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：BE⊥AB；
（3）求四边形CDBE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等式性质求出∠ACD=∠BCE，根据SAS即可证明；
（2）由△ACD≌△BCE，可知∠A=∠CBE=45°，又因为∠A=∠ABC=45°，所以∠ABE=90°，结论得证；
（3）由（1）可知S_{四边形CDBE}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC．

解答 （1）证明：∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
（2）证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB．
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$）²=4，
∵△ACD≌△BCE，
∴S_{四边形CDBE}=S_△ABC=4．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△BCE是本题的关键．