Question

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线l₁：y=kx+b经过点B和点C（-1，-2）．
（1）求直线l₁及抛物线的表达式；
（2）已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线l₁于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围
（3）将l₁向上平移两个单位得到直线l₂，与抛物线交于点D，E（点D在点E左侧），若Q是抛物线上位于直线l₂上方的一个动点，求△DEQ的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3）代入y=mx²-2mx+m+4，求出m，再求出点B坐标，把B（1，0），C（-1，-2）代入y=kx+b，解方程组即可解决问题．
（2）如图1中，①由图象可知当过P点的直线MN在抛物线的对称轴左侧时，点M和点N中至少有一个点在x轴下方，②t＞3时，点M和点N中至少有一个点在x轴下方．
（3）如图2中，思想利用方程组求出D、E两点坐标，作EG⊥x轴于G．设点Q（m，-m²+2m+3），根据S_△QDE=S_△QDG+S_△QEG-S_△DEG，列出函数式即可．

解答 解：（1）把A（0，3）代入y=mx²-2mx+m+4，得到3=m+4，∴m=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点B坐标为（1，0），
把B（1，0），C（-1，-2）代入y=kx+b，得到$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为y=x-1．

（2）如图1中，由图象可知当过P点的直线MN在抛物线的对称轴左侧时，
点M和点N中至少有一个点在x轴下方，此时t＜1．
当t＞3时，点M和点N中至少有一个点在x轴下方．
综上所述，符合条件的t的范围是t＜1或t＞3．


（3）如图2中，

∵直线l₁的解析式为y=x-1，
∴直线l₁向上平移2个单位后的直线l₂的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴D（-1，0），E（2，3），作EG⊥x轴于G．
设点Q（m，-m²+2m+3），
∵S_△QDE=S_△QDG+S_△QEG-S_△DEG，
∴S_△QED=$\frac{1}{2}$×3×（-m²+2m+3）+$\frac{1}{2}$×3×（2-m）-$\frac{1}{2}$×3×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、三角形面积、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．