Question

6．如图放置的△OAB₁，△B₁A₁B₂，△B₂A₂B₃，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B₁，B₂，B₃，…都在直线y=kx上，则（1）k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，（2）A₂₀₁₅的坐标是（2015$\sqrt{3}$，2017）．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质求出∠1的度数，过B₁向x轴作垂线B₁C，垂足为C，求出B₁点的坐标．利用待定系数法求出直线y=kx的解析式即可；
（2）根据题意得出直线AA₁的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，进而得出A，A₁，A₂，A₃坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．

解答 解：（1）∵△OAB₁，△B₁A₁B₂，△B₂A₂B₃，…都是边长为2的等边三角形，
∴∠1=30°．
过B₁向x轴作垂线B₁C，垂足为C，
∵OB₁=2，
∴CB₁=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴B₁（$\sqrt{3}$，1），
∴1=$\sqrt{3}$k，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；

（2）∵由（1）知，点B₁，B₂，B₃，…都在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
∴A（0，2），AO∥A₁B₁，∠B₁OC=30°，
∴CO=OB₁cos30°=$\sqrt{3}$，
∴B₁的横坐标为：$\sqrt{3}$，则A₁的横坐标为：$\sqrt{3}$，
连接AA₁，可知所有三角形顶点都在直线AA₁上，
∵点B₁，B₂，B₃，…都在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，AO=2，
∴直线AA₁的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+2=3，
∴A₁（$\sqrt{3}$，3），
同理可得出：A₂的横坐标为：2$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$+2=4，
∴A₂（2$\sqrt{3}$，4），
∴A₃（3$\sqrt{3}$，5），
…
A₂₀₁₅（2015$\sqrt{3}$，2017）．
故答案为：（2015$\sqrt{3}$，2017）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．