Question

10．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连结EF．求证：
（1）AE=AF；
（2）AD垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明Rt△AED与Rt△AED全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据SAS证明△AEO与△AFO全等，利用全等三角形的性质证明即可．

解答 证明：（1）∵△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AED（HL），
∴AE=AF；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO=OF，∠AOE=∠AOF，
∴AD垂直平分EF．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△AED与Rt△AED全等．