题目内容

仔细想一想，聪明的你一定能完成下列问题．
阅读下列材料：
∵
1
2
(1-
1
3
)=
1
1×3
，
1
2
(
1
3
-
1
5
)=
1
3×5
，
1
2
(
1
5
-
1
7
)=
1
5×7
，…，
1
2
(
1
99
-
1
101
)=
1
99×101
，
∴
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
99
-
1
101
)=
1
2
(1-
1
101
)=
50
101
．
回答下列问题：
（1）在和项
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…中第7项是
 
，第n项是
 
；
（2）你能运用类似方法求出
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
…+
1
2006×2008
的值吗？请你试一试；
（3）若αn、βn（其中n为不小于3的正整数）满足αn+βn=-（2n+1），αn•βn=n2，请你运用上述知识求
1
(α3+1)(β3+1)
+
1
(α4+1)(β4+1)
+…+
1
(α100+1)(β100+1)
的值．
分析：（1）观察前边式子的规律，可以看到：分母是连续的两个奇数相乘．对应的第n个式子的分母是（2n-1）（2n+1）；
（2）观察分母的规律，发现分母正好是两个连续的偶数，相差是2．所以拆开的时候，相当于扩大了2倍，应再除以2．然后运用抵消的规律，进行计算；
（3）运用整式乘法计算分母，发现：对应的分母是n2-（2n+1）+1=n（n-2），运用上述方法就可计算．
解答：解：（1）根据题意，是连续奇数列，
n=7时，2n-1=7，所以第7项是
1
13×15
，第n项是
1
(2n-1)(2n+1)
；（2分）

（2）原式=
1
2
（
1
2
-
1
4
+
1
4
-
1
6
+…+
1
2006
-
1
2008
）
=
1
2
×（
1
2
-
1
2008
）
=
1
2
×
1003
2008

=
1003
4016
；（2分）

（3）原式=
1
3×1
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
98×100

=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
98
-
1
100
)
=
1
2
（1-
1
100
）
=
99
200
．（4分）
点评：熟练运用分式的拆分进行计算，尤其注意（3）小题综合了上述两种情况的规律，分别搭配计算．
练习册系列答案
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仔细想一想，聪明的你一定能完成下列问题．
阅读下列材料：
∵数学公式，数学公式，数学公式，…，数学公式，
∴数学公式=数学公式=数学公式．
回答下列问题：
（1）在和项数学公式中第7项是______，第n项是______；
（2）你能运用类似方法求出数学公式的值吗？请你试一试；
（3）若αn、βn（其中n为不小于3的正整数）满足αn+βn=-（2n+1），αn•βn=n2，请你运用上述知识求数学公式的值．

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