Question

13．观察下列等式：
2×4=3²-1；3×5=4²-1；4×6=5²-1；5×7=6²-1；…这些等式反映出自然数间的某种运算规律．
（1）请你写出下一个等式6×8=7²-1．
（2）设n表示自然数，请把这个规律用含n的代数式表示出来，并通过你所学过的整式计算出来验证这个等式成立．

Answer 1

分析 （1）根据2×4=3²-1；3×5=4²-1；4×6=5²-1；5×7=6²-1；可得下一个等式是：6×8=7²-1．
（2）根据前5个算式的特征，可得每个算式等号左边的两个因数的差是2，第n个算式的第一个因数是n+1，第二个因数是n+3；第n个算式等号右边的数是（n+2）²-1，据此把这个规律用含n的代数式表示出来；然后根据平方差公式，判断出这个等式的左右两边相等，验证这个等式成立即可．

解答 解：（1）因为2×4=3²-1；3×5=4²-1；4×6=5²-1；5×7=6²-1；
所以下一个等式是：6×8=7²-1．
（2）把这个规律用含n的代数式表示出来为：
（n+1）（n+3）=（n+2）²-1；
因为（n+2）²-1
=（n+2-1）（n+2+1）
=（n+1）（n+3）
所以（n+1）（n+3）=（n+2）²-1成立．
故答案为：6×8=7²-1．

点评 （1）此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第n个算式的第一个因数是n+1，第二个因数是n+3；第n个算式等号右边的数是（n+2）²-1；
（2）此题还考查了平方差公式的应用，要熟练掌握．