题目内容
我们把只有一个角相等的两个三角形称为“单等角三角形”，这两个三角形是不会相似的．分别用一条直线将一对“单等角三角形”分割成两个三角形，如果其中一个三角形分割出的两个小三角形与另一个三角形分割出的两个小三角形分别相似，我们把这种分割称为“对相似分割”．
（1）已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°；△A1B1C1中，∠A1B1C1=90°，∠C1A1B1=30°，将△ABC与△A1B1C1进行“对相似分割”．
方法1：如图1或图2所示：
请在图3中用另一种方法将这两个三角形进行“对相似分割”．（只须画出割线，并标出角度，不必写作法，不必证明 ）
（2）思考这两种分割方法最大的区别，分别判断这两种方法是否对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”？如果可以，请说明理由；如果不可以，请举出反例．
（1）已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°；△A1B1C1中，∠A1B1C1=90°，∠C1A1B1=30°，将△ABC与△A1B1C1进行“对相似分割”．
方法1：如图1或图2所示：
请在图3中用另一种方法将这两个三角形进行“对相似分割”．（只须画出割线，并标出角度，不必写作法，不必证明 ）
（2）思考这两种分割方法最大的区别，分别判断这两种方法是否对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”？如果可以，请说明理由；如果不可以，请举出反例．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）根据对相似分割的定义，可分割一个角，使两个三角形是对相似分割三角形；
（2）根据最大角相等，分别分割两个三角形中角，使之与另一个三角形的角对应相等，可得对相似分割；根据分别分割两个三角形的大角，使之与另一个三角形的角一个小角相等，所得的三角形不能分别相似．
（2）根据最大角相等，分别分割两个三角形中角，使之与另一个三角形的角对应相等，可得对相似分割；根据分别分割两个三角形的大角，使之与另一个三角形的角一个小角相等，所得的三角形不能分别相似．
解答：解：（1）如图所示：
（2）方法1对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”．
，
证明：在△ACB与△A1C1B1中，
设∠ACB=∠A1C1B1=α，设∠CAB=x，
∠CBA=y，设∠C1A1B1=m，∠C1B1A1=n，
∵α+x+y=α+m+n=180°，且x≠y≠m≠n
∴不妨设m＜x＜y＜n，
在∠BAC内做∠BAD=∠C1A1B1=m，交BC于点D，
在∠A1B1C1内做∠A1B1D1=∠ABD=y，交A1C1于点D1，
∴△ABD∽△A1B1D1
∴∠ADC=∠B1D1C1=m+y
又∵∠ACB=∠A1C1B1=α，
∴△CAD∽△C1B1D1
∴方法1对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”．
方法2不能对所有的“单等角三角形”都进行“对相似分割”．
反例如下：
在△ACB与△A1C1B1中，设∠ACB=∠A1C1B1=120°，设∠CAB=30°，∠CBA=30°，设∠C1A1B1=40°，∠C1B1A1=20°，
在∠ACD内做∠ACD=∠C1B1A1=20°，交BC于点D，
在∠A1C1B1内做∠B1C1D1=∠A=30°，交A1B1于点D1，
∴△CAD∽△B1C1D1
但是，在△A1C1D1中，每个角都不等于30°，不可能与△CBD相似
∴方法2不能对所有的“单等角三角形”都进行“对相似分割”．
（2）方法1对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”．
，证明：在△ACB与△A1C1B1中，
设∠ACB=∠A1C1B1=α，设∠CAB=x，
∠CBA=y，设∠C1A1B1=m，∠C1B1A1=n，
∵α+x+y=α+m+n=180°，且x≠y≠m≠n
∴不妨设m＜x＜y＜n，
在∠BAC内做∠BAD=∠C1A1B1=m，交BC于点D，
在∠A1B1C1内做∠A1B1D1=∠ABD=y，交A1C1于点D1，
∴△ABD∽△A1B1D1
∴∠ADC=∠B1D1C1=m+y
又∵∠ACB=∠A1C1B1=α，
∴△CAD∽△C1B1D1
∴方法1对所有的“单等角三角形”都可以进行“对相似分割”．
方法2不能对所有的“单等角三角形”都进行“对相似分割”．
反例如下：
在△ACB与△A1C1B1中，设∠ACB=∠A1C1B1=120°，设∠CAB=30°，∠CBA=30°，设∠C1A1B1=40°，∠C1B1A1=20°，
在∠ACD内做∠ACD=∠C1B1A1=20°，交BC于点D，
在∠A1C1B1内做∠B1C1D1=∠A=30°，交A1B1于点D1，
∴△CAD∽△B1C1D1
但是，在△A1C1D1中，每个角都不等于30°，不可能与△CBD相似
∴方法2不能对所有的“单等角三角形”都进行“对相似分割”．
点评：本题考查了相似形综合题，利用了对相似分割，注意大角相等时，分别分割中角使之与另一个三角形的角相等是对相似分割，题目稍有难度．
练习册系列答案
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|
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