Question

10．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求DC的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BCD中利用勾股定理求得CD的长即可；
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长，得出AB的长，利用勾股定理的逆定理即可判断．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△BCD中，BC=15，BD=9，
∴DC=$\sqrt{B{C}^{2}-D{B}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12；
（2）△ABC是直角三角形；理由如下：
在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∴AB=AD+DB=16+9=25，
∴AB²=25²=625，AC²+BC²=20²+15²=625，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过运用勾股定理求出AB是解决（2）的关键．