Question

已知点P是抛物线y=ax²+c上一个动点且点P到直线y=-2的距离始终等于PO（O为坐标原点），则该抛物线的解析式为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：根据题意求得c=-1，然后借助抛物线与x轴的交点满足点P到直线y=-2的距离始终等于PO即可求得a的值，从而求得抛物线的解析式；

解答：解：由抛物线y=ax²+c可知抛物线的顶点在y轴上，
∵点P是抛物线y=ax²+c上一个动点且点P到直线y=-2的距离始终等于PO（O为坐标原点），
∴顶点到原点的距离等于顶点到直线y=-2的距离，
∴抛物线y=ax²+c的顶点为（0，-1），抛物线不与直线y=-2相交，
∴c=-1，a＞0，
∴抛物线为y=ax²-1，
令y=0，则0=ax²-1，解得x=±

1 a

，
∴抛物线与x轴的一个交点为（

1 a

，0）
根据题意则

1 a

=2，解得a=

1

4

，
∴该抛物线的解析式为y=

1

4

x²-1；
故答案为：y=

1

4

x²-1．

点评：本题考查了二次函数的性质，根据题意找出顶点和与x轴的交点是本题的关键．