已知直线AB∥CD.点P是直线AB上一动点.点E是∠ACD平分线上的点.连接PE.作∠BPE的平分线PF交CD于点F．(1)如图1.若∠PEC小于180°时.直接写出.∠ACE.∠BPF.∠PEC的数量关系,(2)如图2若点P在CE的延长线上时.求证:$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°,的条件下.分别延长CA.FP相交于点M.若∠CMF=∠APC.求:∠ACF的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知直线AB∥CD，点P是直线AB上一动点，点E是∠ACD平分线上的点，连接PE，作∠BPE的平分线PF交CD于点F．
（1）如图1，若∠PEC小于180°时，直接写出，∠ACE、∠BPF、∠PEC的数量关系；
（2）如图2若点P在CE的延长线上时，求证：$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；
（3）在（2）的条件下，分别延长CA、FP相交于点M，若∠CMF=∠APC，求：∠ACF的度数．

分析（1）延长PE交CD于G，根据角平分线的定义以及三角形外角性质，得到∠ECG+∠EGC=∠PEC，进而得出∠ACE+2∠BPF=∠PEC；
（2）根据CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，得到∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠BPF，再根据AB∥CD，点P在CE的延长线上，即可得出∠BPE+∠ECD=180°，即2∠BPF+∠ACE=180°，进而得到$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；
（3）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠ECD=∠CMF，设∠ACE=∠ECD=α，则∠CMF=α，∠ACF=2α，再根据三角形外角性质以及平行线的性质，即可得出∠BPE+∠ECD=180°，进而得到4α+α=180°，求得α的值即可得到∠ACF的度数．

解答解：（1）∠ACE、∠BPF、∠PEC的数量关系为：∠ACE+2∠BPF=∠PEC．
理由：如图1，延长PE交CD于G，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
∵AB∥CD，
∴∠EGC=∠BPE，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EGC=∠BPE=2∠BPF，
∵∠PEC是△CEG的外角，
∴∠ECG+∠EGC=∠PEC，
∴∠ACE+2∠BPF=∠PEC；

（2）如图2，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠BPF，
∵AB∥CD，点P在CE的延长线上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
∴2∠BPF+∠ACE=180°，
即$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；

（3）如图3，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠EPF，
∵AB∥CD，
∴∠ECD=∠APC，
又∵∠CMF=∠APC，
∴∠ECD=∠CMF，
设∠ACE=∠ECD=α，则∠CMF=α，∠ACF=2α，
∵∠CPF是△PCM的外角，
∴∠EPF=∠M+∠ACP=2α，
∴∠BPE=2∠EPF=4α，
∵AB∥CD，点P在CE的延长线上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
即4α+α=180°，
∴α=36°，
∴∠ACF=2α=72°．